古代战争中的博弈—庙算

皇恩浩荡

三个快枪手—秦、楚、汉

明教-周培公

秦二世九年，章邯命王离领军二十万围钜鹿，自领二十万兵屯于不远处的棘原，筑甬道直达钜鹿城外，供应王离军粮草。战旗猎猎，黑烟滚滚，钜鹿城墙在秦兵汹涌冲击下簌簌战栗。
项羽、刘邦诸军集结于彭城，共议破秦大计。是时人心惶惶，天下之势如风云变幻，诡谲莫测，胜负之判只在一念之差耳！起义军何去何从？
抛开历史，我们引入一个模拟游戏，以三位快枪手分别代表秦、楚、汉三军，以枪法的优劣代表三军武力的大小。枪手甲的命中率为80%，代表强大的秦军；枪手乙的命中率为60%，代表羽翼渐丰的楚军；枪手丙的命中率为40%，代表孱若的汉军。三人均有不可调和的矛盾，不存在彼此间的信义，只存在永远的利益与仇恨。这样，他们只好以决斗的方式做个了断。那么一阵乱枪之后，谁会被干掉？谁又会活下来？
乍一看，枪法最好的甲活下来的机会最大；而丙最惨，40%的命中率还不如用来自杀呢。然而，一阵震耳的枪声过后，结果却是甲和乙尸横与野，饮恨西归。丙则望着自己冒烟的枪口，傻愣愣的吹着气。
怎么会这样？道理很简单，甲首先选择攻击的目标是乙，因为乙对他的威胁最大。同样，乙也会毫不迟疑的把枪口对准甲。烂枪手丙自然也要对甲开枪，因为不管怎么说，乙到底比甲差一些。于是乱枪决战之后，甲和乙还能活下来的机会少的可怜，分别只有24%和20%，丙却是100%。
普鲁士军事理论家克劳塞维茨说，战争不过是一场较大规模的决斗。没错，把三个快枪手的决斗模型搬到战争中，也颇合乎情理。在钜鹿之围中，秦军的势力最强，总兵力达四十万，其中二十万是王离所率的防御匈奴的精锐部队；且秦军刚刚击溃项梁，攻略赵地，势不可挡。楚军实力次之，定陶一战，虽然主将项梁身亡，但楚是大国，对秦朝的反抗基础仍在，《史记》中就说：“楚虽三户，灭秦必楚。”汉军最差，基本上没与秦军主力正面交过锋。楚、汉双方都不足以单独与秦军抗衡。这样，在气焰正炽的秦军压力下，楚、汉结盟是博弈的结果，是历史的必然。秦、楚的血腥碰撞亦然。
彭城会议的决策是：一路以宋义、项羽率楚军主力五万救钜鹿，另一路由刘邦率汉军趁虚经函古关攻咸阳，并约定二路大军先入咸阳者为关中王。楚军是这个联盟中最肯卖命的一方，所以楚军不但在钜鹿一役中破釜沉舟，重创了秦军，更在此后推翻秦王朝统治的战争中长期充当主力。而刘邦几乎是兵不血刃就扫平了秦王朝的后方，就像是那个拙劣的枪手丙冲着甲无关痛痒的开了几枪一样，可他却率先入关，占尽了便宜。隔远一点看，秦、楚、汉三军的命运是不是有点像三个快枪手的结果呢？
当然，战争中有士气、统率力、民心、天气等诸多不测因素，以这个博弈模型一概而论未免简单。但是，纵观千年战争史，将帅们在决策上的斗智斗勇无不是博弈的结果。
博弈，用孙子的话说就是“庙算”。“夫未战而庙算胜者，得算多也；夫未战而庙算不胜者，得算少也。”孙子是世界上第一个将计算科学引入战略决策的军事家，他的许多观点被认为是战争经验的高度总结。今天看来，《孙子兵法》的许多内容也包含着不少理论演绎的成分。

皇恩浩荡

庙算之二—人海战术与线性平方律

明教-周培公

孙子所处的春秋末年，弩作为一种比弓更强劲的远射武器登上了历史舞台。《孙子兵法》中已将弩与甲胄并列为兵器，又以弩机的扩张形容战势：势如扩机。这暗示着一种崭新的战斗方式——线性战术——越来越频繁的出现了。所谓“线性战术”即是指正面的直线冲锋，这种战斗方式一直延续到十九世纪晚期，直到机枪的问世。孙子敏锐的从这种新的战斗类型中总结出一条规律：十则围之，五则攻之，倍则分之。这十二字箴言被历代兵家视为圭臬，但他们并不能完全领悟这一庙算的奥妙。直到二千多年后，英国一位名叫兰切斯特的工程师用微分方程证明了这条规律。
兰切斯特线性平方律说的是：在线性战术下，近距离格斗时，任一方的实力与本身战斗单位的数量成正比。这就是说，如果蓝军平均单位战斗力是红军四倍的话，一百名蓝军和四百名红军的战斗力相同，两军远距离射击的结果是同归于尽；但若是近距离搏斗，则红军的战斗力满足线性平方律，一百名蓝军和四百名红军近战后，当蓝军一百人全军覆没时，红军仍有三百四十六人留下，即损失五十四人。（注：400×400-100×100×4=120000，12万开方为346，我不会在电脑上打平方和开方的符号）这便是“人海战术”的数学解释。兰切斯特成功的用此定律解释了特拉法尔加海战中，纳尔逊率英国皇家海军将法、西联合舰队各个击破的成功诀窍。
上述《孙子兵法》中的十二字箴言，恰好是这一数学规律博弈的结论。孙子的理论实际上隐含了一个前提，即假设我军的单位战斗力是敌人的一半。这当然是一种保守的假设，但是这种假设可确保在战场上万无一失的取胜。在这个前提下，当我军人数五倍于敌军时，直接进攻，因为兵力优势明显。当我军人数是敌人两倍时，由于单位战斗力是敌人的一半，远距离攻击时总战斗力是势均力敌，直接进攻，不符合孙子所崇尚的以最小伤亡取得最大胜果的期望。而若是切割敌人，使其首尾不能兼顾，分而歼之，则能把己方损失降低到最小。这实际是人海战术的另一种巧妙运用。当兵力是敌人的十倍时，围而不歼。因为此时敌人已经知道取胜无望，不太可能会负隅抵抗，只会自动投降。不战而屈人之兵，善之善者矣。
孙子亲力履行这一条战争规律，领吴兵三万，在山岳、丛林、水网等不同地形，采取迂回奔袭、寻机决战、深远追击、蚁附攻城等机动作战方案，集中优势兵力，对楚军各个击破；五战五捷，破强楚二十万大军，并攻陷郢都。尉缭子赞曰：有提三万之众而天下莫当者谁？曰武子也！

皇恩浩荡

庙算之三--先下手为强与战争主动权

明教-周培公

公元前506年，吴军在柏举迎战楚军。吴王之弟夫概请示阖闾说：“楚令尹子常不仁，他的部下缺乏必死的斗志。我们抢先进攻，他们的士兵一定溃败。”阖闾拒绝了夫概的建议。夫概退下，与孙子商议，孙子表示赞同。夫概于是说：“臣义而行，不待命。”遂率部抢先攻击子常的部队，果然一击成功，楚军大败，令尹子常弃军仓皇逃王郑国。

孙子兵法素来强调“先机之利”。孙子云：“善战者，立于不败之地，而不失敌之败也，是故胜兵先胜而后求战。”围棋上黑子有先行优势，战场上也是如此。闪电战便是一种特别强调突然袭击的主动攻击战。先下手为强为什么在战争中会有优势？其中不乏庙算之奥妙。

举个例子，如果给你两个师，由你担任司令，任务是攻克敌人的城市。敌守军有三个师。通往城市有甲、乙两条路。战场规律是当你发起攻击时，若你的兵力超过敌人则获胜，若等于或少于敌人兵力则失败。那么你取胜的概率是多少呢？战术又应该如何制定？

从表面上看，这似乎是不可能完成的任务。按照普鲁士军事理论家克劳塞维茨的观点，同等兵力用来防守比用来进攻更有利。所以在相等的兵力下，城是攻不下来的，更何况敌人比你还多一个师呢。

然而，答案是集中兵力从一条道路攻击，取胜的概率为一半对一半。分析如下：敌人只有两种战术：A 两师守甲，一师守乙。B 反之。敌人不可能用三个师守一条路线，因为用三个师守与用两个师防守效果是一样的。

我军也只有两种战术：A 全军进攻甲。B 全军进攻乙。我军不可能还有第三种战术，比如分开兵力，一师进攻甲一师进攻乙，因为这样必败。所以，采用A、B两种战术的任一种，若攻在敌军薄弱处，则取胜。取胜的概率为50%。

为什么我军兵力不及敌人，反而能高在进攻战术下不处劣势呢？道理很简单，你拥有战争的主动权，可以决定何时何地开战。毛泽东说：“一切战争的敌我双方，都力争在战场、战地、战区以至整个战争中的主动权，这种主动权即是军队的自由权。”

上面这道题是普林斯顿大学的博弈课堂上的测试题。许多博弈大师曾在普林斯顿大学求学或任教，其中包括甜菜钠什。

皇恩浩荡

庙算之四--后发制人与军事冒险

明教-周培公

战争中，在取得巨大优势的情况下，此时敌人若采取狗急跳墙式的冒险战略，我方亦可采取后发制人的战略。不过，此时的后发制人指的是一种因敌制宜的博弈战略。田忌赛马便是一种典型的后发优势的应用，只有在齐王率先出牌的情况下，田忌才能随机应变以不同优劣的赛马战而胜之。
春秋末年，晋国四卿中最具实力的智伯胁迫韩、魏两氏出兵向赵襄子宣战。赵襄子采纳谋臣张孟谈的建议，在坚固的晋阳城进行固守。
智伯统率三家联军猛攻晋阳三月不下，又围困一年多仍未克。联军屯兵坚城之下，渐渐趋于被动。而晋阳城中军民却是同仇敌忾，士气高昂。战势逐渐逆转，赵襄子便派遣张孟谈乘夜潜出城外，秘密说服韩、魏两家暗中倒戈。此时，形式对智氏已经非常不利。智伯眼见战事进展甚微，不仅取胜无望，还有可能自取灭亡，情急之下他想出一条妙计：引汾水淹灌晋阳城，企图用它来攻破晋阳坚城。于是，智伯命令士兵在晋水上游筑坝，再挖一条河渠通向晋阳城西南。这是个相当冒险的决策，因为大水无情，对自军也构成一个强大的威胁。所以，他又在围城部队的营地外，筑起一道拦水坝，以防水淹晋阳的同时也淹了自己的人马。而且此计之成功还取决于天气，如若雨季没有准时到来，决堤灌城只能是白费心机。然而他赌对了，工程竣工后，连日大雨不止，河水暴涨。智伯下令，掘开堤坝，一时间大水奔腾咆哮，直扑晋阳城。很快晋阳全城都被浸没在水中了，城内军民只好支棚而居，悬锅而炊，病饿交加，情况十分危急！在这种形势下，赵襄子又该如何决策呢？
博弈论给出的答案是，在赢者通吃的游戏中——比如战争——取得巨大优势时如果敌人采取冒险措施作最后一博，那么你所要做的就是模仿敌人。普林斯顿大学经济学教授阿维纳什，曾用一个帆船比赛的故事来说明这种模仿策略的原理。
1983年，美洲杯帆船赛决赛前四轮结束后，“自由女神号”在总共七轮比赛中暂时以三胜一负领先。第五轮比赛一开始，“自由女神号”就因为竞争对手“澳大利亚二号”的抢发而取得了三十七秒的优势。落后的“澳大利亚二号”的船长决定孤注一掷，转向赛道左侧，寄望于风向变化可以帮助他们赶上去。而“自由女神号”在优势心理下采取了保守策略，留在原来的右赛道。结果风向果真发生变化，“澳大利亚二号”反超，最终以四比三赢得了决赛桂冠。
实际上，在“自由女神号”取得三十七秒的领先优势时，他们就获得了后动优势：对手押什么风向，他们就跟随押什么风向。这样，他们必胜无疑。因为如果对手押对了，他们也跟着押对。同样，如果对手押错了，那么大家都错，那三十七秒优势仍然管用。这便是后动优势是奥妙。
赵襄子固然不懂什么博弈论，但并不妨碍他选择正确的策略。他决定以其人之道还治其人之身，在一个约定的夜间展开军事行动：赵襄子在韩、魏的配合下，派兵杀死智伯守堤的官兵，掘开了卫护堤坝，放水倒灌了智伯军营。智伯的部队从梦中惊醒，乱作一团。赵军乘势从城中正面出击，韩、魏两军则自两翼夹攻，大破智伯军，并擒杀了智伯本人。三家乘胜进击，尽灭智氏家族，瓜分其土地。
克劳塞维茨说：“战争有时就是冒险，但必须是有算计的，这样的冒险比不冒险事实上更安全。”可见风险这个家伙是最容易迷惑人的。不管它有多高，加入对手与自己冒同样危险的话，则它是不可惧的！

皇恩浩荡

庙算之五--黔驴技穷与不完全信息博弈

明教-周培公

西汉时期，匈奴曾大举入侵上郡，名将李广有次率一百名骑兵与匈奴数千骑兵遭遇。李广的一百骑兵非常恐慌，想仓皇逃走。李广说：“我们离大军几十里，现在仅以一百骑逃跑，匈奴若追赶射击我们可能全军覆没。现在我们若留下，匈奴一定以为我们是为大军来诱敌的，必不敢来袭。”于是他命令骑兵，继续前进！进到离胸木阵地二里许，他又下令都下马解鞍，他的部下说：“敌人多而且离得近，如果有紧急情况，怎么办？”李广说：“那些敌人以为我们会走，现在都解鞍就表示不走，可以使敌人更加坚信我们是来诱敌的错误判断。”结果，匈奴骑兵果然就没敢攻击。这时，有个骑白马的匈奴将军出阵监护他的兵卒，李广立即上马奔去射杀了此人，然后又返回到他的部下中间，解下马鞍，命令士兵把马放开，随地躺卧。夜半时，匈奴兵认定汉军在附近有伏兵准备夜间袭击他们，就全部撤走了。天亮后，李广率部平安地回到了大军驻地。
在这次遭遇战中，双方兵力是严重不对等的，然而双方的信息同样是不对等的。李广的成功正是由于他巧妙的利用了手里唯一的一张好牌：信息。匈奴不知道自己与汉军在不同行动策略下的“支付”，即攻击汉军的成败，而李广对此却了然于心。李广可以选择的策略是“逃跑”或“留在原地”，不管哪种选择，只要匈奴知道他自己的支付，那么汉军均会惨败。李广唯一的办法就是不让匈奴知道他自己的策略结果。他主动出击，射杀匈奴白马将军以耀武扬威，这等于降低了匈奴的可能收益。在信息不充分的情况下，博弈参与者不是使自己的支付或效用最大，而是使自己的“期望支付”最大。比如，如果让你在50%的可能获得一百元与10%的可能获得二百元之间选择，你当然会选择前者。制造解鞍休息假象的目的，就是让匈奴人感到进攻有较大失败的可能。用概率术语来说，李广的做法是加大匈奴对进攻失败的主观概率。其实匈奴人完全可以派出一支小分队进行侦察，探明虚实，这样，即使真中了汉军的埋伏，损失也不大；如果没有中计，就可以全歼汉军。显然，这个风险是值得冒的。
在“黔驴技穷”中，老虎用的便是这种策略。老虎从未见过驴这种“庞然大物”，即不知道对抗下的“支付”，开始有点害怕这个家伙。可是长期共处后，发现笨驴并无高能，于是老虎开始试探，每次进一小步，直到摸清对方底牌“技止此耳”，于是就吃掉了笨驴。这正是一个逐渐掌握信息并在此基础上作出判断的过程。
孙子非常重视信息在战略决策中的意义，他说：兵者，诡道也。知己知彼，百战不殆。在战争这种非合作博弈中，敌我双方都会猜测对方的战略行动以制定己方的战略行动，因此尽可能地了解敌人的信息，便显得尤其重要。这便是《孙子兵法》要为“用间”专列一篇的理由。反过来，若能千方百计隐藏己方的信息，甚至用诡道迷惑敌人，便能使敌人处于信息相对劣势，从而掌握战争主动权。

皇恩浩荡

本帖用于本团经典言论存底 勿删! -作者：周培公 07.10.15